计数具有有界极小多项式导数的实代数数

在本文中，我们考虑计数固定次数 $n$ 且高度有界为 $Q$ 的代数数 $\alpha$ 的问题，使得其极小多项式 $P_{\alpha}(x)$ 的导数有界，即 $|P_{\alpha}'(\alpha)| < Q^{1-v}$。该问题在丢番图逼近度量理论的问题中有许多应用。我们证明，在区间 $\left(-\frac12, \frac12\right)$ 上上述定义的 $\alpha$ 的个数在 $Q>Q_0(n)$ 且 $1.4 \le v \le \frac{7}{16}(n+1)$ 时不超过 $c_1(n)Q^{n+1-\frac{1}{7}v}$。我们的结果基于 A. Gelfond 专著《超越数与代数数》中关于整数多项式不可约因子零逼近阶引理的改进。该改进对位于离所有有界次数与高度代数数足够远实点处因子的绝对值给出了更强的估计，其基于两个多项式的结式表示为位移多项式的 Sylvester 矩阵行列式。关键词：丢番图逼近，Hausdorff 维数，超越数，结式，Sylvester 矩阵，不可约因子，Gelfond 引理。