矩与导数的值域

本文引入了三个与有限 Hausdorff 矩相关的问题。一般而言，给定定义在 [0,1] 上的实值连续可微函数 f 的前 n+1 个（n 属于 N 或 n=0）矩 $\alpha(0), \alpha(1), \ldots, \alpha(n)$，关于 $df/dx$ 像的大小能说些什么？我们使这些问题更加精确，并在不多于三个矩的情况下以及某些四个矩的情况下给出了答案。在 n+1 个矩的一般情形下，我们证明了导数的值域应包含由 n 个数计算出的凸包，这 n 个数由伯恩斯坦多项式 $x^k(1-x)^{n+1-k}$（k=1,2,...,n）给出，而它们最终可表示为仅由给定矩 $\alpha(i)$（i=0,1,2,...n）构成的表达式。最后，我们对前述区间值域的锐度可能成立的结论提出了一些猜想。