大水平集像的维数

设 $k$ 为自然数。我们考虑 $k$ 次连续可微实值函数 $f:E\to\mathbb{R}$，其中 $E$ 是直线上具有正长度的某个区间。对 $0<\alpha<1$，令 $I_\alpha(f)$ 表示满足其原像 $f^{-1}(y)$ 的 Hausdorff 维数 $\dim f^{-1}(y) \ge \alpha$ 的值 $y\in\mathbb{R}$ 的集合。我们考虑当 $f$ 取遍所有从 $E$ 到 $\mathbb{R}$ 的 $k$ 次连续可微函数集合 $C^k(E,\mathbb{R})$ 时，$\dim I_\alpha(f)$ 的 Hausdorff 维数最大能有多大。我们证明 $\dim I_\alpha(f)$ 的精确上界为 $\displaystyle\frac{1-\alpha}k$。