轻度限制逼近的丢番图指数

我们研究针对整数 $1 \leq l < n$ 与向量 $\alpha \in \mathbb{R}^n$ 定义的丢番图指数 $\mu_{n,l}$，其定义为令 \mu_{n,l} = \sup{\mu \geq 0: 0 < ||x \cdot \alpha|| < H(x)^{-\mu} 对无穷多个 $x \in C_{n,l} \cap \mathbb{Z}^n$ 成立}，其中 $\cdot$ 为标量积，$|| . ||$ 表示到最近整数的距离，$C_{n,l}$ 为由高度在前 $l$ 个坐标中取得的所有向量构成的广义锥。我们证明该指数可取区间 $[l+1, \infty)$ 中的所有值，且对几乎所有 $\alpha$ 其值为 $n$。我们计算了满足 $\mu_{n,l} (\alpha) = \mu$（其中 $\mu \geq n$）的向量 $\alpha$ 集合的Hausdorff维数。最后，令 $w_n$ 表示通过对 $x$ 移除限制而获得的指数，我们证明存在这样的向量 $\alpha$，使得递增序列 $\mu_{n,1} (\alpha) \leq ... \leq \mu_{n,n-1} (\alpha) \leq w_n (\alpha)$ 中的间隙可以被任意选择。