论丢番图逼近谱的拓扑

固定一个整数 $n\ge 2$。对于 $\mathbb{R}^n$ 中的每个非零点 $\mathbf{u}$，可以附加若干称为丢番图逼近指数的数。然而，正如Khintchine首次观察到的，这些数并非彼此独立。这就提出了一个问题：通过改变点 $\mathbf{u}$，描述给定指数族所能取的所有可能值的集合。为避免平凡情况，限制在坐标在 $\mathbb{Q}$ 上线性无关的点 $\mathbf{u}$。由此得到的值集称为这些指数的谱。我们证明，在适当的设定下，任何这样的谱都是一个紧致连通集。在 $n=3$ 的情况下，我们进一步证明它是一个在分量最小值下封闭的半代数集。对于 $n=3$，我们还获得了Schmidt和Summerer最近引入的六个指数族的谱的描述。