与 $b$-进制和 $\beta$-展开相关的均匀丢番图逼近

设 $b\geq 2$ 为整数，$\hv$ 为实数。除其他结果外，我们计算了具有以下性质的实数 $\xi$ 集合的 Hausdorff 维数：对于每一个足够大的整数 $N$，存在一个整数 $n$ 使得 $1 \le n \le N$，且 $b^n \xi$ 与其最近整数之间的距离至多等于 $b^{-\hv N}$。我们进一步在将 $b^n\xi$ 替换为 $T^n_\beta \xi$ 时解决了同样的问题，其中 $T_\beta$ 表示经典的 $\beta$-变换。