关于阿佩里常数为超越数的注记

Beuker 的[2]考虑了如下积分 $$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{-\log xy}{1-xy} P_n(x)P_n(y)\ dx dy$$ 若 $d_n=\text{LCM}(1,2,...,n)$，则对某些 $A_n,B_n\in\mathbb{Z}$ 有 $$0<\frac{|A_n+B_n\zeta(3)|}{d_n^3}<2(\sqrt{2}-1)^{4n} \zeta(3)$$ 我们证明：若阿佩里常数为代数数，则上述不等式不成立。这证明了 $\zeta(3)$ 是