无标签 Erdős-Rényi 图的散弹装配

给定正整数 $n$、具有 $n$ 个顶点的无标签图 $G$ 以及 $G$ 的一个顶点 $v$，令 $N_G(v)$ 为 $G$ 中距 $v$ 至多一跳的顶点在 $G$ 上诱导出的子图。我们证明存在普适常数 $C,c>0$ 满足如下性质。令序列 $(p_n)_{n=1}^\infty$ 满足 $n^{-1/2}\log^C n\leq p_n\leq c$。对每个 $n$，令 $\Gamma_n$ 为一个无标签的 $G(n,p_n)$ Erdős-Rényi 图。则以概率 $1-o_n(1)$，任意具有 $\{N_{\tilde \Gamma_n}(v)\}_{v}=\{N_{\Gamma_n}(v)\}_{v}$ 的 $n$ 顶点无标签图 $\tilde \Gamma_n$ 必与 $\Gamma_n$ 一致。这确立了 $\tilde \Theta(n^{-1/2})$ 作为密度参数 $p_n$ 从其 1-邻域可重构与不可重构之间的转变区间，并解决了 Gaudio 与 Mossel 的一个问题。