Erdos-Renyi 随机图的霰弹枪组装

图的霰弹枪组装是指从局部邻域的集合重构图的问题。在本文中，我们考虑 Erdos-Renyi 随机图 $G(n, p_n)$ 的霰弹枪组装，其中 $p_n = n^{-\alpha}$，$0 < \alpha < 1$。我们同时考虑同构重构以及精确重构（恢复顶点标签及结构）。我们证明，给定距离-$1$ 邻域的集合，当 $0 < \alpha < \frac{1}{3}$ 时 $G$ 是精确可重构的，而当 $\frac{1}{2} < \alpha < 1$ 时不可重构。给定距离-$2$ 邻域的集合，当 $\alpha \in \left(0, \frac{1}{2}\right) \cup \left(\frac{1}{2}, \frac{3}{5}\right)$ 时 $G$ 是精确可重构的，而当 $\frac{3}{4} < \alpha < 1$ 时不可重构。