随机拼图游戏的快速组装

在近期工作中，Mossel和Ross考虑了随机拼图游戏的快速组装问题。他们的模型由一个拼图——一个 $n\times n$ 网格——组成，其中每个顶点被视为一块的中心。他们假设与每个顶点相邻的四条边之一被均匀随机地赋予 $q$ 种颜色之一（对应于"拼缝"或切割形状）。Mossel和Ross提出：$q = q(n)$ 需要多大才能使给定单块集合时拼图能以高概率被唯一组装？他们证明若 $q = \omega(n^2)$，则拼图能以高概率被唯一组装，而若 $q = o(n^{2/3})$，则拼图以高概率不能被唯一组装。这里我们改进了上界，证明对任意 $\eps > 0$，若 $q \geq n^{1+\eps}$，则拼图能以高概率被唯一组装。该证明使用了一个运行时间为 $n^{\Theta(1/\eps)}$ 的算法。