随机拼图的散片边缘组装
概率论
2016-05-26 v2 离散数学
信息论
组合数学
math.IT
摘要
在 Mossel 和 Ross 近期的研究中，提出了一个问题：对于一个具有 q 种不同形状“拼图片”的随机拼图，q 需要多大才能使其恰好有唯一解。假设拼图片是对称的，即同类型的两个拼图片总能拼合在一起。他们证明，当 q=o(n^{2/3}) 时，几乎必然存在多个解；而当 q=ω(n^2) 时，几乎必然恰好有一个解。后一个界限后来被 Nenadov、Pfister 和 Steger，以及 Bordernave、Feige 和 Mossel 独立改进为 q≥n^{1+ε}。这两个小组进一步指出，当 q=o(n) 时，拼图中几乎必然存在重复的拼图片。本文中，我们证明，只要 q≤(2/√e)n - ω(log_2 n)，即使不考虑相同拼图片的排列视为改变解，此类拼图也几乎必然存在多个解。我们进一步对该情形下解的数量以及唯一解的概率给出了一些评论。
引用
@article{arxiv.1605.07151,
title = {Shotgun edge assembly of random jigsaw puzzles},
author = {Anders Martinsson},
journal= {arXiv preprint arXiv:1605.07151},
year = {2016}
}
备注
7 pages, no figures. Version two corrects a calculation error in Claim 2.1. where -(1-x)log_2(1-x) was incorrectly expanded as x+O(x^2) instead of log_2(e)x + O(x^2). The proof is otherwise unchanged, but as a consequence the constant in the main theorem is now 2/sqrt(e) instead of sqrt(2). Also fixed some typos