具有公共角 $\arccos(1/3)$ 的等角线集合的枚举

2018 年，Sz\"{o}ll\H{o}si 和 "{O}sterg\r{a}rd 使用计算机枚举了维度 $7$ 中具有公共角 $\arccos(1/3)$ 的等角线集合。他们观察到，在维度 $7$ 中，具有公共角 $\arccos(1/3)$ 的 $n$ 条等角线集合的数量 $\omega(n)$ 几乎关于 $n=14$ 对称。在本文中，我们通过考虑从秩至多为 $8$ 的根格到秩为 $8$ 且类型为 $E$ 的根格 $\sE_8$ 的等距映射，无需计算机证明了数量 $\omega(n)$ 确实是几乎对称的。此外，他们确定了当 $n \leq 13$ 时，具有公共角 $\arccos(1/3)$ 的 $n$ 条等角线集合的数量 $s(n)$。我们借助根的切换，从类型为 $A$ 或 $D$ 的根格构造了维度大于 $7$ 的所有具有公共角 $\arccos(1/3)$ 的等角线集合。作为应用，我们确定了每个正整数 $n$ 对应的数量 $s(n)$。