通过改进特征值重数研究等角线

在内积空间中，若所有过原点的直线对构成的角度均相同，则称该直线族为等角的。1973年，Lemmens 和 Seidel 提出了一个在此后成为欧几里得空间等角线研究核心问题的问题。他们询问：对于任意整数 $k \geq 2$，在 $\mathbb{R}^r$ 中具有共同角 $\arccos{\frac{1}{2k-1}}$ 的等角线的最大数量是多少。我们证明，只要 $r$ 至少是关于 $k$ 的多项式的指数级，该答案即等于 $r-1+\left\lfloor\frac{r-1}{k-1}\right\rfloor$。这一结果改进了 Jiang、Tidor、Yao、Zhang 和 Zhao [Ann. of Math. (2) 194 (2021), no. 3, 729-743] 近期的突破，他们证明了该结论在 $r$ 至少是关于 $k$ 的多项式的双指数级时成立。我们还证明，对于任意共同角 $\arccos{\alpha}$，当 $r$ 在 $1/\alpha \to \infty$ 上是超多项式时，答案即已等于 $r+o(r)$。支撑我们结果的关键新要素是改进了图的第二大特征值重数的上界。在其中一种情形下，该结果改进并显著推广了 McKenzie、Rasmussen 和 Srivastava [STOC 2021, pp. 396-407] 的结果。