等角线、不相干集与拟对称设计

在 $\mathbf{R}^d$ 中可找到的等角线数量的绝对上界为 $d(d+1)/2$。已知饱和此上界的线集例子仅存在于维数 $d=2,3,7$ 或 $23$ 中。通过考虑不相干这一附加性质，我们证明存在一组饱和绝对上界与不相干上界的等角线当且仅当 $d=2,3,7$ 或 $23$。这使我们能够对单位球面 $\mathbf{S}^{d-1}$ 中所有具有如下性质的紧球面 $5$-设计 $X$ 进行分类：存在 $X$ 中 $d$ 个点，其两两内积为正。对于给定的角 $\kappa$，在 $\mathbf{R}^d$ 中具有公共角 $\kappa$ 的等角线数量存在相对上界。我们证明，对饱和此上界与不相干上界的线集进行分类，等价于对某种拟对称设计进行分类，拟对称设计是具有两个区组交数的组合设计。在进一步的自然假设下，我们对已知的饱和这两个上界的线集进行了分类。该族包含上述线集以及在 $\mathbf{R}^6$ 中发现的最多 $16$ 条等角线集。已知存在无穷多饱和相对上界的线集，因此这一结果是令人惊讶的。为阐明这一点，我们将 $E_8$ 格点辨识为 Leech 格点子格在 $23$ 维空间中由 $276$ 条等角线定义的向 $8$ 维子空间投影的像。这一辨识使我们观察到小维数中等角线集与 del Pezzo 曲面的例外曲线之间的对应。