即使是 $1 \times n$ 的边缘匹配和拼图谜题也极其困难

我们证明了将 $n$ 个方形瓦片旋转并放入 $1 \times n$ 阵列中使得相邻瓦片相容——如边缘匹配谜题中相等的边缘颜色，或拼图谜题中匹配的凸耳/凹槽形状——的计算不可解性。除了基本的 NP 困难性外，我们证明了在满足非空白瓦片之间的相容性约束的同时，即使在 0.9999999851 的因子内近似最大化已放置瓦片（允许留空）的数量也是 NP 困难的。（另一方面，存在简单的 $1 \over 2$ 近似。）这是边缘匹配和拼图谜题不可近似性的首个（正确的）证明。在此过程中，我们证明了区分以下两种情况的 NP 困难性：对于具有 $n$ 个节点的有向图，具有哈密顿路径（长度 $n-1$）与最多具有 $0.999999284 (n-1)$ 条形成顶点不相交路径并集的边。我们利用这种间隙硬度与保间隙归约，确立了 $1 \times n$ 拼图和边缘匹配谜题的类似间隙硬度。