斐波那契数平方的一种新组合解释

我们考虑用半方块（$\frac12\times1$ 砖）和 $(\frac12,\frac12)$-栅栏砖来铺砌一个 $n$-板（宽度为单位的 $1\times n$ 方格阵列）。一个 $(\frac12,\frac12)$-栅栏砖由两块半方块组成，中间隔有宽度为 $\frac12$ 的间隙。我们证明使用这些类型的砖铺砌一个 $n$-板的方法数等于 $F_{n+1}^2$，其中 $F_n$ 是第 $n$ 个斐波那契数。我们利用这些铺砌设计出将斐波那契数平方彼此之间以及与其他数列相关联的恒等式的组合证明。其中一些恒等式似乎是新的。