与斐波那契玩一局台球

利用最大公约数（$gcd$）的性质，我们可以揭示在单位正方形内打台球与斐波那契数列以及欧几里得算法之间的某些联系。特别地，通过定义对应于平移和镜像的两个映射 $\tau$ 和 $\sigma$，我们能够重新推导 Lamé 定理并赋予其几何解释，从而实现构造黄金比例的一种新方式。进一步，我们讨论了满足 $gcd(q,p)=1$ 的数对 $p,q\in \mathbb{N}$ 的分布，并表明它们也与斐波那契数列相关。