利用两类骨牌对斐波那契数平方、黄金矩形数与雅各布斯塔尔数的新组合解释

我们考虑用单位宽度的正方形和(1,1)-栅栏骨牌来铺砌$n$-板（大小为$n\times1$的板）。一个(1,1)-栅栏骨牌由两个单位宽度的正方形子砖组成，中间隔有一个单位宽度的间隙。我们证明了用单位宽度正方形和(1,1)-栅栏骨牌铺砌$n$-板的方法数，在$n$为偶数时等于一个斐波那契数平方，在$n$为奇数时等于一个黄金矩形数（两个连续斐波那契数的乘积）。我们还证明了用$n$个这样的正方形和栅栏骨牌铺砌板的方法数是雅各布斯塔尔数。利用组合技术，我们以直接的方式证明了涉及斐波那契数和雅各布斯塔尔数之和的恒等式。其中一些恒等式似乎是新的。我们还构造并获得了一种已知的类帕斯卡三角形（其一边交替为1和0）的恒等式，其第$(n,k)$项是用$n$个骨牌铺砌且其中$k$个为栅栏骨牌的方法数。该三角形与用于$n$-板铺砌的类似三角形之间存在简单关系。我们还展示了这些三角形与Riordan数组之间的联系。借助这些三角形，我们将斐波那契数平方、黄金矩形数和雅各布斯塔尔数表示为两个二项式系数乘积的双重和。