关于帕斯卡三角形的两大类推广

我们考虑两类类帕斯卡三角形，其左侧全为 1，右侧为被 $m-1$ 个零分隔的 1。$m=1$ 的情形即为帕斯卡三角形，且当 $m=2$ 时这两类三角形也重合。第一类三角形的成员在三角形内部处处遵循帕斯卡递推关系。我们证明，第 $m$ 个三角形也可以通过反转 $(1/(1-x^m),x/(1-x))$ Riordan 数组每一行中直至并包含主对角线的元素来获得。由此可以快速得出该类三角形的性质。第二类三角形中第 $m$ 个成员的 $(n,k)$ 项是 $(n+k)\times1$ 棋盘使用 $k$ 个 $(1,m-1)$-栅栏和 $n-k$ 个单位正方形的铺砌数量。$(1,g)$-栅栏由两个相隔宽度为 $g$ 的间隙的单位正方形子砖组成。我们证明，这些三角形反对角线上的项是两个连续 Fibonacci 多项式幂的乘积的系数，并给出双射证明，证明这些系数给出了 $\{1,2,\ldots,n-m\}$ 的 $k$-子集的数量，使得子集中没有两个元素相差 $m$。还通过组合方法得出了第二类三角形的其他性质。最后，我们给出了由 $(n\times1)$-棋盘铺砌导出的任何类帕斯卡三角形（或其行反转版本）成为 Riordan 数组的充分必要条件。