关于帕斯卡三角形的一类双参数推广族

我们考虑一类双参数三角形族，其第 $(n,k)$ 项（将初始项计为第 $(0,0)$ 项）为：对某些固定的 $m=1,2,\dots$ 与 $t=2,3,\dots$，用单位正方形与 $(1,m-1;t)$-梳状砖铺砌 $N$-板（即对任意非负整数 $N$，由 $N$ 个单位方格单元组成的线性阵列）的方式数，其中总共使用 $n$ 块砖，其中有 $k$ 块为梳状砖。一个 $(1,m-1;t)$-梳状砖是由 $t$ 个单位正方形子砖（称为齿）组成的砖，其放置方式使得每个齿与下一个齿之间相隔宽度为 $m-1$ 的间隙。我们证明该三角形中的各项是两个连续广义斐波那契多项式各自取某非负整数次幂后乘积的系数。我们还给出了用正方形填满剩余单元、以 $k$ 块 $(1,m-1;t)$-梳状砖铺砌 $(n+(t-1)m)$-板的方式，与集合 $\{1,\ldots,n\}$ 中满足子集内任意两元素之差不超过 $(t-1)m$ 且不为 $m$ 的倍数之 $k$-子集之间的一一对应。因此我们能够对这类 $k$-子集的数目如何与某多项式系数相关联给出组合证明。我们还推导了一类有向伪图上从特定节点出发的闭游走数的递推关系，并应用它得到了该三角形族在 $m=2$、$t=5$ 情形下的一个恒等式。文中也主要通过组合证明建立了该三角形族的进一步恒等式。