$m$-step Fibonacci 数列部分和的新组合解释

Fibonacci 数列的部分和序列，以 $2$、$4$、$7$、$12$、$20$、$33,\dots$ 开始，具有多种组合解释（OEIS A000071）。例如，该序列的第 $n$ 项是避免 $110$ 的长度为 $n$ 的二进制词的数量。本文证明了一个相关但全新的解释：给定一个长度为 $3$ 的二进制词——称为关键词——我们说两个长度为 $n$ 的二进制词是等价的，如果其中一个可以通过一系列替换从另一个获得：每次替换将关键词的一个实例替换为其取反，或反之。我们证明，诱导的等价类数量同样是上述序列的第 $n$ 项。当关键词长度为 $m+1$（而非 $3$）时，相同的结果对 $m$-step Fibonacci 数列成立。使此结果令人惊讶——且有别于先前解释——的是，尽管等价类的大小依赖于关键词，该结果却不依赖于关键词。针对最后这一点，我们证明了关于等价类结构的若干结果，并提出了各种开放问题。