温度1下的路径和方块自组装

我们证明，在Winfree的抽象砖块组装模型中，当限制仅使用非协作砖块结合时，构建大小为n×n的方块所需的砖块类型数量至少为2n-1，这也是已知的最佳上界。非协作自组装，也称为温度1，是指砖块在匹配一个或多个侧面时相互结合，而在协作结合中，某些砖块仅在匹配多个侧面时才能结合。我们的证明引入了一种新的温度1编程技术，推翻了非常直观且普遍持有的信念，即在同一模型中，组装两点A和B之间的路径所需的砖块类型数量不能少于它们之间的曼哈顿距离。然后，我们证明了组装这些“高效路径”的必要条件，并表明该必要条件在完全填充的方块中无法成立。这一结果证明了算法自组装中最古老的猜想，该猜想由Rothemund和Winfree在STOC 2000上发表，在生长从方块一角开始的情况下成立。作为推论，我们确立了n作为一般情况下砖块复杂度的下界。确定自组装形状所需的最小砖块类型数量的问题已知是$\Sigma^p_2$-完全的。