整数上的一个自然概率模型及其与 Dickman 型分布和 Buchstab 函数的关系

设 $\{p_j\}_{j=1}^\infty$ 表示按递增顺序排列的素数集合，设 $\Omega_N\subset \mathbb{N}$ 表示不含大于 $p_N$ 的素因子的正整数集合，并设 $P_N$ 表示 $\Omega_N$ 上的概率测度，它赋予每个 $n\in\Omega_N$ 的概率正比于 $\frac1n$。该测度实际上是随机整数 $I_N\in\Omega_N$ 的分布，定义为 $I_N=\prod_{j=1}^Np_j^{X_{p_j}}$，其中 $\{X_{p_j}\}_{j=1}^\infty$ 是独立随机变量，且 $X_{p_j}$ 服从 Geom$(1-\frac1{p_j})$ 分布。我们证明了在 $P_N$ 下 $\frac{\log n}{\log N}$ 弱收敛于 Dickman 分布。设 $D_{\text{nat}}(A)$ 表示 $A\subset\mathbb{N}$ 的自然密度（若存在），并设 $D_{\text{log-indep}}(A)=\lim_{N\to\infty}P_N(A\cap\Omega_N)$ 表示由 $\{P_N\}_{N=1}^\infty$ 导出的 $A$ 的密度（若存在）。我们证明了这两个密度在 $\mathbb{N}$ 的一个自然子集代数上是一致的。我们还证明了它们在 $n^\frac1s$-\it 光滑数 \rm\ $\{n\in\mathbb{N}: p^+(n)\le n^\frac1s\}$（$s>1$，其中 $p^+(n)$ 是 $n$ 的最大素因子）的集合上不一致。这最后的考虑涉及包含 Dickman 函数的分布。我们还考虑了 $n^\frac1s$-\it 粗糙数 \rm\ $\{n\in\mathbb{N}:p^-(n)\ge n^{\frac1s}\}$（$s>1$，其中 $p^-(n)$ 是 $n$ 的最小素因子）的集合。我们证明了这些集合的概率，在 $[N]=\{1,\ldots, N\}$ 上的均匀分布下和在 $\Omega_N$ 上的 $P_N$ 分布下，作为 $s$ 的函数具有相同的渐近衰减轮廓，尽管它们的速率必然不同。该轮廓涉及 Buchstab 函数。我们还证明了 Buchstab 函数的一个新表示。