关于连续素数之差倒数之和

设 $p_n$ 表示第 $n$ 个素数，并令 $d_n=p_{n+1}-p_{n}$。在 Hardy--Littlewood 素数对猜想下，我们证明 \begin{align*} \sum_{n\le X}\frac{\log^{\alpha}d_n}{d_n} \sim\begin{cases} \frac{X\log\log\log X}{\log X}~\qquad\quad~ &\alpha=-1,\\ \frac{X}{\log X}\frac{(\log\log X)^{1+\alpha}}{1+\alpha}\qquad &\alpha>-1, \end{cases} \end{align*} 并在无 Hardy--Littlewood 素数对猜想下建立了 $d_n$ 某些级数的渐近性质。