Romanov 型表示函数的定量结果

对 $\alpha >0$，令 $$\mathscr{A}=\{ a_1<a_2<a_3<\cdots\}$$ 与 $$\mathscr{L}=\{ \ell_1, \ell_2, \ell_3,\cdots\} \quad \text{(not~necessarily~different)}$$ 为两个正整数序列，满足对无穷多个正整数 $m$ 有 $\mathscr{A}(m)>(\log m)^\alpha$，且对充分大的整数 $m$ 有 $\ell_m<0.9\log\log m$。进一步假设对所有 $i$ 有 $(\ell_i,a_i)=1$。对任意 $n$，令 $f_{\mathscr{A},\mathscr{L}}(n)$ 为如下可用表示的数量 $$\ell_in=p+a_i \quad \left(1\le i\le \mathscr{A}(n)\right),$$ 其中 $p$ 为素数。本文证明 $$\limsup_{n\to \infty } \frac{f_{\mathscr{A},\mathscr{L}}(n)}{\log\log n}>0,$$ 取 $a_i=2^i$ 与 $\ell_i=1$ 时涵盖了 Erd\H os 在 1950 年的一个旧结果。论证中的一个关键要素是此处建立的一个技术引理，阐明了如何从一个任意给定的相异线性函数集中挑出可接受部分。证明随后归结为验证由 Maynard 引入的涉及良分布集的假设，这当然也是论证中的另一关键要素。