Erdős-Rényi极限定理中例外集的再探讨

对$x\in [0,1]$，游程长度函数$r_n(x)$定义为$x$的二进展开中前$n$个二进数字里连续$1$的最长游程的长度。Erdős与Rényi证明了对Lebesgue几乎处处的$x\in[0,1]$有$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{r_n(x)}{\log_2n}=1$。令$H$表示单调递增函数$\varphi:\mathbb{N}\to (0,+\infty)$且$\lim\limits_{n\to\infty}\varphi(n)=+\infty$的集合。对任意$\varphi\in H$，我们证明集合$$E_{\max}^\varphi=\left\{x\in [0,1]:\liminf\limits_{n\to\infty}\frac{r_n(x)}{\varphi(n)}=0, \limsup\limits_{n\to\infty}\frac{r_n(x)}{\varphi(n)}=+\infty\right\}$$要么具有Hausdorff维数一且在$[0,1]$中剩余，要么为空。该结果肯定地解决了一个在\cite{LW5}中提出的猜想。