独立几何Lévy过程之和的泛函极限定理

设 $\xi_i$, $i\in \mathbb {N}$, 为 Lévy 过程 $\{\xi(t),t\geq0\}$ 的独立副本。受先前在随机能量模型背景下所得结果的启发，我们证明了过程 $$Z_N(t)=\sum_{i=1}^N\mathrm{e}^{\xi_i(s_N+t)}$$ 在 $N\to\infty$ 时的泛函极限定理，其中 $s_N$ 为收敛于 $+\infty$ 的非负序列。极限过程严重依赖于序列 $s_N$ 的增长速率。若 $s_N$ 增长缓慢，即对某个临界值 $\lambda_2>0$ 满足 $\liminf_{N\to\infty}\log N/s_N>\lambda_2$，则极限为 Ornstein--Uhlenbeck 过程。然而，若 $\lambda:=\lim_{N\to\infty}\log N/s_N\in(0,\lambda_2)$，则极限为某个完全不对称的 $\alpha$-稳定过程 $\mathbb {Y}_{\alpha ;\xi}$。