二元Bernstein-gamma函数、势测度与Lévy过程指数泛函的渐近性

设$\xi$为Lévy过程，$I_\xi(t):=\int_{0}^te^{-\xi_s}\mathrm{d} s$，$t\geq 0,$为确定性时间域上Lévy过程的指数泛函。给定$\lim_{t\to \infty}\xi_t=-\infty$，我们针对一般函数$F$基于显式积分准则给出了$\mathbb{E}\left(F(I_\xi(t))\right)$衰减速率的上界。当$\mathbb{E}\left(\xi_1\right)\in\left(-\infty,0\right)$且$\mathbb{P}\left(\xi_1>t\right)$在无穷远处为正则变化指数$\alpha>1$时，我们证明$I_\xi(t)$的分布在适当规范化与重标度后弱收敛于一个源自经典指数泛函乘积分解新推广的概率测度。这些结果显著改进了现有文献，并通过将$\mathbb{E}\left(I^{-a}_{\xi}(t)\mathbf{1}_{\left\{I_{\xi}(t)\leq x\right\}}\right)$（$a\in (0,1)$，$x\in(0,\infty],$）的拉普拉斯变换的Mellin反演与由de Haan理论中单大跳原理的适当应用所增强的Tauberian理论相结合这一新颖方法获得。该方法论依赖于上述Mellin变换用近期引入的二元Bernstein-gamma函数表示，我们为此发展了如下具有独立意义的新结果（对一般$\xi$）：我们将这些函数与$\xi$的$q$-势相联系；我们证明在 aforementioned 积分准则有限时其在零处的导数有限；我们给出了沿复方向的这些导数的简洁估计。这些结果在指数泛函本身的各种应用以及需要二元Bernstein-gamma函数性质的不同情境中均有用。$\xi$不必为非格点的。