Lévy过程指数泛函的渐近行为及其在随机环境中随机过程的应用

设 $\xi=(\xi_t, t\ge 0)$ 为实值 Lévy 过程，定义其相关指数泛函如下$$I_t(\xi):=\int_0^t \exp\{-\xi_s\}{\rm d} s, \qquad t\ge 0.$$受随机环境中随机过程的重要应用启发，我们研究当 $t\to\infty$ 时$$\mathbb{E}\Big[F\big(I_t(\xi)\big)\Big]$$的渐近行为，其中 $F$ 为无穷远处具有多项式衰减的非增函数，且 $\xi$ 满足某些指数矩条件。特别地，我们根据 $\xi$ 的 Laplace 指数的形状发现了五种不同的区域。我们的证明依赖于对指数泛函 $I_t(\xi)$ 的离散化，并与随机变量半直积的泛函行为密切相关。我们将主要结果应用于随机环境中的随机过程的三个问题。首先，我们考虑 Lévy 随机环境中稳定连续状态分支过程的灭绝与爆炸的渐近行为。其次，我们关注 Lévy 随机环境中具有竞争作用的种群模型的均值的渐近行为，最后，我们研究 Lévy 随机环境中扩散过程最大值的尾行为。