与Lévy过程相关的若干Ornstein-Uhlenbeck型过程的遍历性方面

本文研究关联于一个趋向无穷的正自相似马尔可夫过程 $(X(t))_{t\geq 0}$ 的Ornstein-Uhlenbeck型过程，即 $U(t):= {\rm e}^{-t}X({\rm e}^t-1)$。我们指出 $U$ 总是一个（拓扑）常返的马尔可夫过程，并借助指数泛函 $\hat I := \int_0^\infty \exp(\hat\xi_s) {\rm d}s$ 的律来识别其不变测度，其中 $\hat\xi$ 是通过Lamperti变换与 $X$ 相关的实值Lévy过程 $\xi$ 的对偶。该不变测度是无穷的（即 $U$ 是零常返的）当且仅当 $\xi_1\not \in L^1(\mathbb{P})$。在此情形下，我们确定了使 $U$ 满足Darling-Kac定理结论的Lévy过程族 $\xi$。我们的方法关键依赖于另一个可与Lévy过程 $\xi$ 关联的广义Ornstein-Uhlenbeck过程，即 $V(t) := \exp(\xi_t)\left(\int_0^t \exp(-\xi_s){\rm d}s +V(0)\right)$，以及基于加性泛函的时间替换性质。