从分析、概率与自由概率视角看与内万林纳-皮克函数相关的积分变换

我们建立了内万林纳-皮克（Nevanlinna-Pick）函数类与谱负Lévy过程相关指数类之间的新联系。作为结果，我们计算了与某些双曲函数相关的特征，并展示了时间完全单调性的性质，类似于Bertoin & Yor（On subordinators, self-similar Markov processes and some factorizations of the exponential variable, Elect. Comm. in Probab., vol. 6, pp. 95--106, 2001）通过Lamperti变换为自相似马尔可夫过程所得者。更精确地，我们展示了一个显著事实：对从属过程（subordinator）$\xi$，函数 $t \mapsto t^n \, \er[\xi_t^{-p}]$ 根据指数值 $n=0,1,2,\; p>-1$ 的不同，或是伯恩斯坦（Bernstein）函数或是完全单调函数。特别地，$\xi$ 是谱负Lévy过程的逆时间从属过程，当且仅当对某个 $\,p\geq 1$，函数 $t \mapsto t \, \er[\xi_t^{-p}]$ 是Stieltjes变换。最后，我们厘清了内万林纳-皮克函数在何种程度上与自由概率及Voiculescu变换相关，并给出了一个反演步骤。