李群上的 Ornstein-Uhlenbeck 过程

我们考虑与有限维李群上的次椭圆扩散过程相关的 Ornstein-Uhlenbeck 过程（OU 过程）：设 $\mathcal{L}$ 为李群 $G$ 上的次椭圆、左不变“平方和”算子，其关联的 Markov 过程为 $X$，我们通过添加函数 $U$ 的负水平梯度漂移来构造 OU 过程。在自然情形 $U(x) = - \log p(1,x)$ 下，其中 $p(1,x)$ 是 $X$ 在 $t=1$ 时刻从单位元 $e$ 出发关于 $G$ 上右不变 Haar 测度的律的密度，我们通过应用李群上“平方和”算子的 Driver-Melcher 不等式证明了 Poincaré 不等式。由此产生的 Markov 过程称为与 $G$ 上次椭圆扩散相关的自然 OU 过程。我们在对 $U$ 的可积性假设下证明了这些 OU 型过程在 $G$ 上的全局强存在性。随后通过微扰技术证明了一大类势 $U$ 的 Poincaré 不等式。这些结果被应用于获得紧致齐性空间 $M$ 上模拟退火冷却调度标准结果的次椭圆等价形式。