Ornstein-Uhlenbeck 过程的推广：理论结果、模拟与参数估计

在本工作中，我们研究推广 Ornstein-Uhlenbeck 过程的随机过程类，以下称之为\emph{广义 Ornstein-Uhlenbeck 型过程}，记作 GOU 型过程。我们考虑其由诸如布朗运动、对称 $\alpha$-稳定 L\'evy 过程、L\'evy 过程乃至泊松过程这类噪声过程驱动。我们给出关于记忆核函数的充要条件，以保证这些过程的时间平稳性与马尔可夫性。当 GOU 型过程由 L\'evy 噪声驱动时，我们证明它是无穷可分的，并给出其生成三元组。我们列举了由 GOU 型过程导出的若干例子，展示了它们的一些基本性质以及部分时间序列实现。这些例子还给出了其理论与经验自相关函数或归一化协差函数，取决于过程具有有限或无限二阶矩。我们还给出了所谓\emph{余弦过程}（GOU 型过程类中的一个特定过程）的最大似然估计与贝叶斯估计步骤。对于贝叶斯估计方法，我们考虑 Fox H 函数的幂级数表示，以更好地近似 $\alpha$-稳定分布的随机变量的密度函数。我们考虑四种拟合优度检验，以帮助决定哪个\emph{余弦过程}（由高斯或 $\alpha$-稳定噪声驱动）最能拟合真实数据集。给出了两个 GOU 型模型的应用：一个基于苹果公司股市价格数据，另一个基于洛杉矶县心血管死亡率数据。