带约束的最大游程长度函数：Erdős-Rényi 极限定理的推广及例外集

设 $\mathbf{A}=\{A_i\}_{i=1}^{\infty}$ 为一集合序列，其中每个 $A_i$ 是长度为 $i$ 的 $0$-$1$ 序列的非空集合。对 $x\in [0,1)$，最大游程长度函数 $\ell_n(x,\mathbf{A})$（关于 $\mathbf{A}$）定义为使得 $x$ 的二进展开前 $n$ 位数字中存在一个连续子序列包含于 $A_k$ 的最大 $k$。假设对某个 $\tau\in [0,1]$ 有 $\lim_{n\to\infty}(\log_2|A_n|)/n=\tau$ 且成立另一附加假设，我们证明了 Erd\H{o}s-R\'enyi 极限定理的一个推广，即对于 Lebesgue 几乎处处的 $x\in [0,1)$ 有 $$\lim_{n\to\infty}\frac{\ell_n(x,\mathbf{A})}{\log_2n}=\frac{1}{1-\tau}$$。对于例外集，我们在 $\mathbf{A}$ 的某更强假设下证明集合 $$\left\{x\in [0,1): \lim_{n\to\infty}\frac{\ell_n(x,\mathbf{A})}{\log_2n}=0\text{ 且 } \lim_{n\to\infty}\ell_n(x,\mathbf{A})=\infty\right\}$$ 的 Hausdorff 维数至少为 $1-\tau$。