Ornstein-Uhlenbeck 过程抽样最大值的截断现象

在本文中，我们研究了当 $n\to \infty$ 时，由 $n\in \mathbb{N}$ 索引的连续时间随机过程族在总变差距离下的所谓截断现象，$$\left( \mathcal{Z}^{(n)}_t= \max\limits_{j\in \{1,\ldots,n\}}{X^{(j)}_t}:t\geq 0\right),$$ 其中 $X^{(1)},\ldots,X^{(n)}$ 是由指数为 $\alpha$ 的稳定过程驱动的 $n$ 个遍历 Ornstein-Uhlenbeck 过程的抽样。不难看到，对于每个 $n\in \mathbb{N}$，当 $t$ 增大时，$\mathcal{Z}^{(n)}_t$ 在总变差距离下收敛到极限分布 $\mathcal{Z}^{(n)}_\infty$。利用极值渐近理论；在高斯情形下，我们证明了 $\mathcal{Z}^{(n)}_t$ 的分布与其极限分布 $\mathcal{Z}^{(n)}_\infty$ 之间的总变差距离在截断时间附近的常数时间窗内收敛到一个普适函数，这一事实在随机过程背景下被称为轮廓截断。另一方面，在重尾情形下，我们证明了不存在截断现象。