均匀平面 Kac 游走中的截断现象

我们考虑特殊正交群 $SO(N)$ 上 Kac 随机游走的一个类比，其中每一步都在 $\mathbb{R}^N$ 中随机选择的二维平面内执行随机旋转。我们获得了总变差距离下收敛速率的精确渐近估计，确立了大 $N$ 极限下的截断现象。在旋转角为确定性的特殊情况下，这证实了 Rosenthal \cite{Rosenthal} 的猜想。在温和条件下，我们还建立了在 $L^2$ 范数下游走收敛至平稳分布的截断现象。取决于随机选择的旋转角的分布，出现了一些令人惊讶的特征。例如，有时混合时间在总变差范数和 $L^2$ 范数下并不相同。我们的估计利用了特殊正交群特征的积分表示以及鞍点分析。