线性形式序列相对于 $\mathbb{T}^1$ 中区间的遍历偏差的绝对界

给定一个正的递增函数 $\varphi$，我们证明对于几乎处处的向量 $\alpha\in \mathbb{R}^d$（即全测度集），$d$-线性形式序列 $\left\{\sum_{1\le i\le d} k_i\alpha_i \mod 1\right\}_{1\le k_i\le N\atop 1\le i\le d}$ 相对于 $[0,1)$ 中区间的极大遍历偏差具有绝对上界 $C(\alpha,\varphi)\cdot (\log N)^d \varphi^{\max\{d,3\}}(\log \log N)$，前提是 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\varphi(n)}$ 收敛。