Dirichlet $L$-函数在 $q$ 方面大偏差的上界

我们证明了关于给定模数的偶本原 Dirichlet $L$-函数中心值大偏差的一个结果。对于 $V\sim \alpha\log\log q$ 且 $0<\alpha<1$，我们证明 \begin{equation}\nonumber\frac{1}{\varphi(q)} \# \left\{\chi \text{ 偶, 本原模 }q: \log \left|L\left(\chi,\frac{1}{2}\right)\right| >V\right\}\ll \frac{e^{-\frac{V^2}{\log\log q}}}{\sqrt{\log\log q}}.\end{equation} 这给出了由 Gao 证明的 Dirichlet $L$-函数中心值分数矩的尖锐上界，注意到模 $q$ 的偶本原特征的数量为 $\frac{\varphi(q)}{2}+O(1)$。该证明是对 Arguin、Bourgade 和 Radziwill 为 Riemann zeta 函数局部极大值开发的递归方案在 $q$ 方面的改编，并由 Arguin 和 Bailey 应用于 $t$ 方面的大偏差。我们进一步得到了 $V=o(\log\log q)$ 情况下的界。这些界预计不是尖锐的，但与中心极限定理估计的偏差随着 $q$ 增长得非常缓慢。该方法涉及 Dirichlet $L$-函数中心值的扭曲磨光二阶矩的公式，建立在 Iwaniec 和 Sarnak 的工作之上。