环面上平移相对于 $\mathbb{T}^2$ 中三角形的遍历偏差绝对界

继 Beck 关于 $\mathbb{T}^n$ 中相对于直长方体的环面平移的工作之后，我们证明了环面平移相对于 $\mathbb{T}^2$ 中三角形的遍历差异的较弱上界与相同下界。具体而言，给定正增函数 $\varphi(n)$，我们证明对于满测度集的平移向量 $\alpha\in \mathbb{T}^2$，若级数 $\sum_{N=1}^{\infty} \frac{1}{\varphi (N)}$ 收敛，则相对于给定斜率 $\tau$ 的三角形的环面平移最大差异由上界 $Const(\alpha,\tau) (\log N)^2 \varphi^2(\log \log N)$ 限制；且若级数 $\sum_{N=1}^{\infty} \frac{1}{\varphi (N)}$ 发散，则存在无穷多个 $N$ 使得最大差异大于 $(\log N)^2\varphi(\log \log N)$。我们的结果与 Beck 的结果一个重要差异是额外因子 $\varphi(\log \log N)$，该因子在我们的证明中用于控制由斜边产生的新小除数所必需。