等差数列中序列方差的下界：素数与除数函数

我们基于 Liu、Perelli、Hooley 等人的先前工作，发展了一种通用方法，用于对模 $q$ 的等差数列中序列的方差在全部 $q \leq Q$ 上求和给出下界。证明通过将方差下界化为圆法中的小弧贡献，并通过与更易理解的合适辅助指数和比较来给出该贡献的下界。作为一个应用，我们在 $\sqrt{N} (\log N)^C \leq Q \leq N$ 范围内，证明了冯·曼戈尔特函数 $(\Lambda(n))_{n=1}^{N}$ 的方差下界为 $(1-\epsilon) QN\log(Q^2/N)$。此前，此类结果仅在假设黎曼假设的前提下可得。我们还证明了对于任意自然数 $k \geq 2$，除数函数 $d_k(n)$ 的方差下界 $\gg_{k,\delta} Q N (\log N)^{k^2 - 1}$，该下界在 $N^{1/2+\delta} \leq Q \leq N$ 范围内成立。