算术级数中素数方差的分布

Hooley 猜想，在 $q\leq x$ 的某个未指明范围内，模 $q$ 的算术级数中不超过 $x$ 的素数分布的方差 $V(x;q)$ 渐近于 $x \log q$。对 $1\leq q \leq Q$ 取平均，该猜想在 $x/(\log x)^A \leq Q \leq x$ 范围内已被无条件证明；在广义 Riemann 假设 (GRH) 下，后一范围可改进为 $x^{\frac 12+\epsilon} \leq Q \leq x$。我们论证 Hooley 的猜想对所有 $q$ 值应一直成立至 $(\log\log x)^{1+o(1)} \leq q \leq x$，且该范围是最佳的。我们在 GRH 和 Dirichlet L 函数零点的线性无关假设下证明，对于 $q$ 的中等值，$\phi(q)e^{-y}V(e^y;q)$ 与某随机变量具有相同的分布，其均值渐近于 $\phi(q) \log q$，方差渐近于 $2\phi(q)(\log q)^2$。我们对该随机变量大偏差的估计使我们能够预测 Hooley 猜想的有效范围。