回避性与素数分布

在广泛接受的数论假设下，我们确认了几类单调图性质的最终回避性。特别地，我们证明了关于狄利克雷素数的Chowla猜想意味着：(a) 对于任何图$H$，“禁止子图$H$”最终是回避的；(b) 所有边数不超过$n^{3/2-\epsilon}$的非平凡单调图性质最终是回避的（$n$是顶点数）。虽然Chowla猜想目前尚不为人所知能从扩展黎曼假设（ERH，即狄利克雷$L$函数的黎曼假设）推出，但我们证明了在ERH下，边界为$O(n^{5/4-\epsilon})$的(b)。我们还证明了无条件的结果：(a$'$) 对于任何图$H$，“禁止子图$H$”的查询复杂度为$\binom{n}{2} - O(1)$；(b$'$) 对于某个常数$c>0$，所有边数不超过$cn\log n+O(1)$的非平凡单调图性质最终是回避的。即使这些较弱的无条件结果也依赖于数论中的深刻结果，例如关于哥德巴赫猜想的维诺格拉多夫定理。我们的技术贡献在于将Kahn、Saks和Sturtevant（1984）的拓扑框架（由Chakrabarti、Khot和Shi（2002）进一步发展）与对置换群轨道结构及其与素数分布联系的更深入分析联系起来。我们的无条件结果包括Chakrabarti等人某些结果的更强版本和推广。