0-1 矩阵的 Pach-Tardos 猜想被推翻

0-1 矩阵的理论是 Turan 式（二分）子图避免、Davenport-Schinzel 理论和 Zarankiewicz 问题的泛化，已在离散计算几何、自调整数据结构分析以及图参数 twin width 的开发中产生重要影响。该领域的首要开放问题是解决 2005 年的 Pach-Tardos 猜想，该猜想指出：若禁止模式 $P \in \{0,1\}^{k \times l}$ 为无环图（森林）的二分诱导矩阵，则 $\mathrm{Ex}(P,n) = O(n \log^{C_P} n)$，其中 $C_P$ 仅依赖于 $P$ 的常数。该猜想在许多小模式上已被证实，具体包括所有权重至多为 5 的模式，以及除两个权重为 6 的模式外的所有模式。本文的主要结果是干净地推翻了 Pach-Tardos 猜想。具体地，我们证明 $\mathrm{Ex}(S_0,n), \mathrm{Ex}(S_1,n) \ge n 2^{\Omega(\sqrt{\log n})}$，其中 $S_0, S_1$ 为争议中的两个权重为 6 的模式。我们还对整个交替模式类 $(P_t)$ 给出尖锐下界，具体证明对所有 $t \ge 2$，$\mathrm{Ex}(P_t,n) = \Theta(n (\log n / \log \log n)^t)$。这首个 asymptotically 精确下界为 $\omega(n \log n)$。