几乎所有排列矩阵具有有界饱和函数

禁用图的饱和问题数十年来一直是一个热门研究领域，最近Brualdi和Cao开启了对0-1矩阵饱和问题的研究。我们说0-1矩阵$A$对禁用0-1矩阵$P$是饱和的，如果$A$避免$P$，但在$A$中将任意一个零改为一会生成$P$的一个副本。定义$sat(n, P)$为对$P$饱和的$n \times n$ 0-1矩阵中1的最小可能数量。Fulek和Keszegh证明了对于每个0-1矩阵$P$，要么$sat(n, P) = O(1)$，要么$sat(n, P) = \Theta(n)$。他们找到了两个$sat(n, P) = O(1)$的0-1矩阵$P$，以及无穷多族$sat(n, P) = \Theta(n)$的0-1矩阵$P$。他们的结果意味着对于几乎所有$k \times k$ 0-1矩阵$P$，$sat(n, P) = \Theta(n)$。Fulek和Keszegh猜想除了他们找到的之外，还有更多$sat(n, P) = O(1)$的0-1矩阵$P$，并要求刻画所有满足$sat(n, P) = O(1)$的排列矩阵$P$。我们通过证明几乎所有$k \times k$排列矩阵$P$满足$sat(n, P) = O(1)$来肯定他们的猜想。我们在刻画问题上也取得了进展，因为我们对主要结果的证明展示了一个具有有界饱和函数的排列矩阵族。