多维 0-1 矩阵的饱和性

0-1 矩阵 $M$ 对于 0-1 矩阵 $P$ 是饱和的，若 $M$ 不包含可通过将其若干 $1$-元素翻转为 $0$-元素而变成 $P$ 的子矩阵，且将 $M$ 的任意 $0$-元素改为 $1$-元素会引入一个 $P$ 的副本。若无论 $M$ 原本是否含 $P$，将 $M$ 的任意 $0$-元素改为 $1$-元素都会引入一个新的 $P$ 副本，则矩阵 $M$ 对 $P$ 是半饱和的。函数 $ex(n;P)$ 与 $sat(n;P)$ 分别为一个 $n\times n$ 的、对 $P$ 饱和的 0-1 矩阵可能具有的 $1$-元素的最大与最小个数。函数 $ssat(n;P)$ 是对 $P$ 半饱和的 $n\times n$ 0-1 矩阵可能具有的 $1$-元素的最小个数。函数 $ex(n;P)$ 已被研究数十年，而关于 $sat(n;P)$ 与 $ssat(n;P)$ 的探究则近期才起步。本文将有关这些函数的结果非平凡地推广到多维 0-1 矩阵。特别地，当 $P$ 为 $d$ 维单位矩阵时，我们求得了 $ex(n;P,d)$ 与 $sat(n;P,d)$ 的精确值。随后我们给出了多维 0-1 矩阵具有有界半饱和函数的充要条件。