0-1 矩阵的饱和

一个 0-1 矩阵 $M$ 包含 0-1 矩阵 $P$，当且仅当 $M$ 存在子矩阵 $P'$，可通过将其中某些 1 变为 0 来得到 $P$。矩阵 $M$ 是 $P$-饱和的，当且仅当 $M$ 不包含 $P$，但从 $M$ 中任意将一个 0 变为 1 得到的矩阵 $M'$ 必包含 $P$。饱和函数 $sat(n,P)$ 定义为所有 $n \times n$ 的 $P$-饱和 0-1 矩阵中 1 的最小数目。Fulek 和 Keszegh 证明每个模式 $P$ 满足 $sat(n,P) = O(1)$ 或 $sat(n,P) = \Theta(n)$。这自然引出了将禁止的 0-1 矩阵按其饱和函数为线性还是有界进行分类的问题。该问题已取得一些进展：已识别出多个饱和函数有界的无限族和饱和函数线性的其他族。我们回答了所有至多含四个 1 的模式以及若干含更多 1 的特定模式的分类问题，包括多个新的无限族。我们还考虑了某些矩阵运算的影响，包括 Kronecker 积以及空行和空列的插入。此外，我们考虑固定一个维度的较简单情形，推广了 (Fulek and Keszegh, 2021) 和 (Berendsohn, 2021) 的结果。我们还将部分结果推广到 $d$ 维饱和。