多维 0-1 矩阵中模式避免的极值界

若 0-1 矩阵 $M$ 的某个子矩阵可通过将任意数量的 $1$-元素改为 $0$-元素而变成另一个 0-1 矩阵 $P$,则称 $M$ 包含 $P$。当 $\mathcal{P}$ 是一个 0-1 矩阵族时,若 $M$ 避免 $\mathcal{P}$ 中的每一个元素,且将 $M$ 的任意一个 $0$-元素改为 $1$-元素会引入 $\mathcal{P}$ 中某个元素的副本,则称 $M$ 是 $\mathcal{P}$-饱和的。极值函数 $\operatorname{ex}(n,\mathcal{P})$ 与饱和函数 $\operatorname{sat}(n,\mathcal{P})$ 分别是一个 $n\times n$ 的 $\mathcal{P}$-饱和 0-1 矩阵可能的最大与最小权重,而半饱和函数 $\operatorname{ssat}(n,P)$ 是一个 $n\times n$ 的 $\mathcal{P}$-半饱和 0-1 矩阵 $M$ 的最小可能权重,即把 $M$ 中任意 $0$-元素改为 $1$-元素会引入 $\mathcal{P}$ 中某个元素的一个新副本。我们给出了由二维极小非线性 0-1 矩阵推广而来的极小非-$O(n^{d-1})$ $d$ 维 0-1 矩阵的参数的上界,并证明了存在无穷多个各维长度均大于 $1$ 的极小非-$O(n^{d-1})$ $d$ 维 0-1 矩阵。对于任意正整数 $k,d$ 以及整数 $r\in[0,d-1]$,我们构造了一族 $d$ 维 0-1 矩阵,其极值函数与饱和函数在 $n$ 充分大时均恰为 $kn^r$。我们证明了不存在饱和函数严格介于 $O(1)$ 与 $\Theta(n)$ 之间的 $d$ 维 0-1 矩阵族,并构造了一族具有有界饱和函数和极值函数 $\Omega(n^{d-\epsilon})$(对任意 $\epsilon>0$)的 $d$ 维 0-1 矩阵族。在常数乘法因子意义下,我们完全解决了刻画 $d$ 维 0-1 矩阵族的半饱和函数这一问题,并证明其对某个整数 $r\in[0,d-1]$ 恒为 $\Theta(n^r)$。