0-1 矩阵极值数的紧的一般界

若能删除某 0-1 矩阵 $M$ 的一些行与列，并将一些 $1$ 元素替换为 $0$ 元素后得到矩阵 $A$，则称矩阵 $M$ 包含另一 0-1 矩阵 $A$。矩阵 $A$ 的极值数，记为 $\operatorname{ex}(n,A)$，是指不包含 $A$ 的 $n\times n$ 0-1 矩阵所能具有的 $1$ 元素的最大数量。针对各类模式 $A$ 对此函数的系统性研究可追溯至 F"uredi 与 Hajnal 在 1992 年的工作，且该领域与数学及理论计算机科学的其他诸多领域有着紧密联系。该问题在所谓的无环矩阵情形下已被广泛研究，但关于一般情形（即 $A$ 未必无环的情形）所知甚少。我们证明了首个渐近紧的一般结果：若 $A$ 在每行中至多有 $t$ 个 $1$ 元素，则 $\operatorname{ex}(n,A)\leq n^{2-1/t+o(1)}$。这验证了 Methuku 与 Tomon 的猜想。我们的结果还为区间色数为 $2$ 的顶点有序图的极值数提供了首个紧的一般界，推广了 F"uredi 以及 Alon, Krivelevich 与 Sudakov 关于在一个顶点类中最大度为 $t$ 的二部图（无序）极值数的著名结果。