关于无环禁戒0-1矩阵的极值函数

禁戒0-1矩阵的极值理论研究函数$\mathrm{Ex}(P,n)$的渐近增长，该函数是矩阵$A\in\{0,1\}^{n\times n}$的最大权重，其所有子矩阵均避开固定模式$P\in\{0,1\}^{k\times l}$。该理论在组合学、离散与计算几何、结构图论以及数据结构分析（尤其是动态最优性猜想的推论）中取得了极大成功。所有这些应用均使用无环模式，即当$P$被视为二部图的邻接矩阵时，该图是无环的。该领域最大的开放问题是对无环$P$的$\mathrm{Ex}(P,n)$给出界。先前的结果仅排除了Furedi和Hajnal所猜想的严格$O(n\log n)$界。与先前结果一致的可能情形包括：$\forall P. \mathrm{Ex}(P,n)\leq n\log^{1+o(1)} n$，以及$\forall \epsilon>0.\exists P. \mathrm{Ex}(P,n) \geq n^{2-\epsilon}$。本文建立了无环$P$的极值函数的一个更强的下界。具体而言，我们给出了一种相对稠密的0-1矩阵的新构造，其含有$\Theta(n(\log n/\log\log n)^t)$个1，且避开无环的$X_t$。Pach和Tardos猜想此类结果是最优的，即不存在无环$P$使得$\mathrm{Ex}(P,n)\geq n(\log n)^{\omega(1)}$。