具有线性极值函数的有序与凸几何树

对于有序与凸几何无环图 $F$ 的极值函数 $ex_{\rightarrow}(n,F)$ 和 $ex_{\cir}(n,F)$ 已被众多研究者广泛研究。基本问题是确定何时 $ex_{\rightarrow}(n,F)$ 和 $ex_{\cir}(n,F)$ 关于 $n$ 是线性的，后者由 Bra\ss-K\'arolyi-Valtr 于 2003 年提出。在本文中，我们对每棵树 $F$ 回答了这两个问题。我们给出了具有 $k$ 条边的有序树族 $\cal T$ 的禁子图刻画，并证明当 $T \in {\cal T}$ 时对所有 $n \geq k + 1$ 有 $ex_{\rightarrow}(n,T) = (k - 1)n - {k \choose 2}$，而当 $T \not\in {\cal T}$ 时 $ex_{\rightarrow}(n,T) = \Omega(n\log n)$。我们还描述了具有线性 Tur\'an 数的凸几何树族，并证明对于不属于该族的每个凸几何树 $F$，有 $ex_{\cir}(n,F)= \Omega(n\log \log n)$。